Що таке фундаментальна група простої групи брехні?

Будь-яка проста група Лі з тривіальним центром має універсальне покриття, центром якого є фундаментальна група простої групи Лі. Відповідні прості групи Лі з нетривіальним центром можна отримати як часткові цього універсального покриття підгрупою центру.

Перша фундаментальна теорема Лі стверджує, що кожна r-вимірна (локальна) диференційовна напівгрупа може бути вкладена в (локальну) групу Лі r вимірів, алгебра Лі якої визначається дотичною площиною в будь-якій внутрішній точці напівгрупи.

Група Брехні є перш за все група. По-друге, це гладкий різновид, який є певним видом геометричного об'єкта. Коло і сфера є прикладами гладких многовидів. Нарешті, алгебраїчна структура та геометрична структура мають бути точно сумісними.

Іншими словами, глобальна структура групи Лі не визначається її алгеброю Лі; наприклад, якщо Z є будь-якою дискретною підгрупою центру G, то G і G/Z мають однакову алгебру Лі (див. таблицю груп Лі для прикладів). Прикладом важливості у фізиці є групи SU(2) і SO(3).

У математичній галузі алгебраїчної топології фундаментальною групою топологічного простору є група класів еквівалентності при гомотопії петель, що містяться в просторі. Він записує інформацію про основну форму, або отвори, топологічного простору.

У теорії представлень груп Лі та алгебр Лі фундаментальним представленням є незвідне скінченновимірне представлення напівпростої групи Лі або алгебри Лі, найвища вага якої є фундаментальною вагою. Наприклад, визначальним модулем класичної групи Лі є фундаментальне представлення.