Як визначити проміжки, на яких функція зростає?

Розглянемо функцію y = f(x), неперервну на інтервалі I (обмеженому або необмеженому) і диференційовану у внутрішніх точках I. Якщо похідна функції завжди додатна в I, то функція є зростаючою в I; якщо, однак, похідна функції завжди від’ємна в I, то функція є спадною в I.

Функція f(x) = x2 є зростаючою в інтервалі [0, + ∞), а навпаки, спадною в (- ∞, 0). Графічно ми очікуємо, що функція буде зростати якщо значення y стають все більшими і більшими, якщо дивитися на функцію зліва направо, натомість зменшуючись, якщо значення y стають усе меншими й меншими.

1. Де /′ 𝑥 додатне, випливає, що / 𝑥 зростає; Де / 𝑥 додатне, випливає, що F 𝑥 зростає 2. Де /′ 𝑥 від’ємне, то / 𝑥 спадає; Якщо / 𝑥 є від’ємним, це означає, що F 𝑥 зменшується на 3. Де /′ 𝑥 дорівнює нулю, звідси випливає, що / 𝑥 має точки з горизонтальним дотичним (макс./мін./перегини на tg horiz).

Зростаюча функція. Функція f(x), неперервна по [a,b] і диференційовна по (a,b), є зростаючою по [a,b] якщо перша похідна f(x) більша за нуль f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 для всіх x ∈ (a,b).

Неперервна функція на інтервалі Функція f(x) називається неперервною на інтервалі [A,B] якщо він неперервний у кожній точці інтервалу (A,B) і на екстремумах існує межа f(x) для x, яка прагне до A праворуч, дорівнює f(A) і межа f(x) для x, що прагне до B вліво, дорівнює f(B).

Розглянемо функцію y = f(x), неперервну на інтервалі I (обмеженому або необмеженому) і диференційовану у внутрішніх точках I. Якщо похідна функції завжди додатна в I, то функція є зростаючою в I; якщо, однак, похідна функції завжди від’ємна в I, то функція є спадною в I.